Différentiation automatique de haut degré en mécanique non-linéaire

Mardi 21 mai 2013 à 14h00, Amphi AT9, Bâtiment 62 Atrium, 16 rue Descartes, Université de Strasbourg.

Isabelle Charpentier
Laboratoire d'Etude des Microstructures et de Mécanique des Matériaux
LEM3 UMR CNRS 7239

Ile du saulcy, 57045 Metz Cedex 01

Différentiation automatique de haut degré en mécanique non-linéaire

Dans les codes de simulations, les dérivées peuvent être soit (i) approchées par une méthode de différences finies, soit calculées (ii) par implémentation des équations continues dérivées, ou (iii) par implémentation des équations discrètes dérivées, ou encore (iv) par différentiation du code implémentant les équations discrètes, effectuée de préférence avec un outil de Différentiation Automatique (DA). Le site web www.autodiff.org propose une revue des techniques, outils et usages de la DA. Lorsque l’on considère la différentiation de haut degré, la DA est clairement l’approche la plus simple, générique et efficace. Les outils correspondants reposent sur la technique de surcharge des opérateurs pour « attacher » le calcul des dérivées d’ordre élevé aux opérateurs et fonctions intrinsèques du langage de programmation.

La modélisation de problèmes d’ingénierie, de physique, de biologie, d’économie, … conduit fréquemment à des problèmes non-linéaires paramétriques, contenant des équations différentielles ordinaires, « f (u, λ) = 0 » par exemple, des équations différentielles algébriques ou des EDP, équations dans lesquelles le paramètre λvarie. Les solutions de ces systèmes sous-déterminés forment des branches de solutions. L’analyse de la stabilité et des bifurcations de ces problèmes est l’un des piliers du calcul scientifique. Plusieurs algorithmes de continuation ont été proposés, dont la méthode de pseudo-longueur d’arc propose d’introduire une équation de chemin mesurant la pseudo-longueur d’arc le long de la branche pour clore, puis résoudre le système étudié.

Sous des hypothèses d’analycité, les solutions peuvent être cherchées sous la forme de série de Taylor comme l’ont fait nombre d’auteurs pour la résolution d’EDO non-linéaires, d’EDA non-linéaires, d’EDP et de problèmes paramétriques. L’idée est d’introduire des séries de Taylor dans le problème non-linéaire pour en déduire une suite de systèmes linéaires dépendant tous de la même matrice Jacobienne et de seconds membres contenant des termes de haut degré calculés par DA. Dans le cas des problèmes paramétriques, toute l’algorithmique de résolution et son implémentation dans Diamanlab ont bénéficié de la généricité de la DA, offrant ainsi une grande souplesse d’utilisation à ce logiciel de continuation.

• Isabelle Charpentier: Après avoir soutenu en 1994 une thèse de l'Université de Metz en mathématiques appliquées, Isabelle Charpentier a été recrutée au CNRS comme chercheuse dans le cadre du projet Idopt (INRIA, CNRS, UJF, INPG) au LMC (Grenoble). Elle a passé son HDR en 2000 sur des thématiques de calcul scientifique avec application en environnement et en physique. En 2001 et 2004, elle a séjourné dans le laboratoire CEREVE de l’ENPC, puis à l’Institut de Géophysique de la UNAM (Mexique). En 2006, elle a intégré le LPMM à Metz et s’est intéressée à la résolution des problèmes non-linéaires en mécanique. Isabelle Charpentier est notamment responsable de la Plateforme Cassiopée du Pôle Procédés Mécanique Matériaux de Metz et auteur de deux logiciels de différentiation automatique.

• Bibliographie:
  

I. Charpentier. “On higher order différentiation in nonlinear mechanics”, Optimization Methods and Software, 2012, 27: 221-232.

I. Charpentier, B. Cochelin, K. Lampoh, “Diamanlab - An interactive Taylor-based continuation tool in MATLAB”, submitted.

B. Cochelin, N. Damil, and M. Potier-Ferry, Méthode Asymptotique Numérique, Hermes Science Publications, France, 2007.

A. Griewank and A.Walther, Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, 2nd ed., in Other Titles in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, PA, 2008.